对于区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

定义

二分法（Bisection method）即一分为二的方法. 设[a，b]为R的闭区间. 逐次二分法就是造出如下的区间序列([an，bn])：a0=a，b0=b，且对任一自然数n，[an+1，bn+1]或者等于[an，cn]，或者等于[cn，bn]，其中cn表示[an，bn]的中点.

典型算法

算法：当数据量很大适宜采用该方法。采用二分法查找时，数据需是排好序的。

基本思想：假设数据是按升序排序的，对于给定值key，从序列的中间位置k开始比较，

如果当前位置arr[k]值等于key，则查找成功；

若key小于当前位置值arr[k]，则在数列的前半段中查找,arr[low,mid-1]；

若key大于当前位置值arr[k]，则在数列的后半段中继续查找arr[mid+1,high]，

直到找到为止,时间复杂度:O(log(n))。

求法

给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:

1 确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ξ.

2 求区间(a,b)的中点c.

3 计算f(c).

(1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点;

(2) 若f(a)·f(c)<0,则令b=c;

(3) 若f(c)·f(b)<0,则令a=c.

(4) 判断是否达到精确度ξ:即若|a-b|<ξ,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4.

计算机应用

由于计算过程的具体运算复杂，但每一步的方式相同，所以可通过编写程序来运算。

Java语言

public int binarySearch(int[] data,int aim){//以int数组为例，aim为需要查找的数

int start = 0;

int end = data.length-1;

int mid = (start+end)/2;//a

while(data[mid]!=aim&&end>start){//如果data[mid]等于aim则死循环，所以排除

if(data[mid]>aim){

end = mid-1;

}else if(data[mid]<aim){

start = mid+1;

}

mid = (start+end)/2;//b，注意a，b

}

return (data[mid]!=aim)?-1:mid;//返回结果

}

//针对已经排序好的数组进行查找（对上面代码进行的改进）
publicstaticbooleanbinarySearch(int[]array,inttarget){
intleft=0;
intright=array.length-1;
intmid=(left+right)/2;
while(array[mid]!=target&&right>left){
if(array[mid]>target){
right=mid-1;
}
elseif(array[mid]<target){
left=mid+1;
}
mid=(left+right)/2;
//判断在缩小范围后，新的left或者right是否会将target排除
if(array[right]<target){
break;//若缩小后right比target小，即target不在数组中
}
elseif(array[left]>target){
break;//若缩小后left比target大，即target不在数组中
}
}
return(array[mid]==target);
}

C语言

方程式为：f(x) = 0，示例中f(x) = 1+x-x^3

使用示例：

input a b e: 1 2 1e-5

solution: 1.32472

源码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <assert.h>
double f(double x)
{
return 1+x-x*x*x;
}
int main()
{
double a = 0, b = 0, e = 1e-5;
printf("input a b e: ");
scanf("%lf%lf%lf", &a, &b, &e);
e = fabs(e);
if (fabs(f(a)) <= e)
{
printf("solution: %lg//n", a);
}
else if (fabs(f(b)) <= e)
{
printf("solution: %lg//n", b);
}
else if (f(a)*f(b) > 0)
{
printf("f(%lg)*f(%lg) > 0 ! need <= 0 !//n", a, b);
}
else
{
while (fabs(b-a) > e)
{
double c = (a+b)/2.0;
if (f(a)* f ( c ) < 0)
b = c;
else
a = c;
}
printf("solution: %lg//n", (a+b)/2.0);
}
return 0;
}

C++语言

[类C编写].

|f(x)|<10^-5 f(x)=2x^3-4x^2+3x-6

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
double f(double x);
const double Accu = pow(10.0, -5.0); // define accuracy
int main()
{
double a, b, c;
a = b = c = 0;
do
{
cout << "Enter a range: ";
cin >> a >> b;
} while (!cin || f(a) * f(b) >= 0); // bad input or f(a) * f(b) >= 0
do
{
c = (a + b) / 2.0; // c is the average number of a and b
if (f(a) * f(c) < 0)
b = c;
else if (f(b) * f(c) < 0)
a = c;
else
break;
} while ( abs(f(c)) > Accu); // if deviation is smaller than pow(10.0, -5.0)
cout << "Solution: " << c;
return 0;
}
double f(double x)
{
return (2 * x * x * x – 4 * x * x + 3 * x – 6); // or 2 * pow(x, 3.0) – 4 * pow(x, 2.0) + 3 * x – 6
}

C++语言中的二分查找法

算法：当数据量很大适宜采用该方法。采用二分法查找时，数据需是排好序的。

基本思想：假设数据是按升序排序的，对于给定值x，从序列的中间位置开始比较，如果当前位置值等于x，则查找成功；若x小于当前位置值，则在数列的前半段中查找；若x大于当前位置值则在数列的后半段中继续查找，直到找到为止。

假如有一组数为3，12，24，36，55，68，75，88要查给定的值24.可设三个变量front，mid，end分别指向数据的上界，中间和下界，mid=（front+end）/2.

1.开始令front=0（指向3），end=7（指向88），则mid=3（指向36）。因为mid>x，故应在前半段中查找。

2.令新的end=mid-1=2，而front=0不变，则新的mid=1。此时x>mid，故确定应在后半段中查找。

3.令新的front=mid+1=2，而end=2不变，则新的mid=2，此时a[mid]=x，查找成功。

如果要查找的数不是数列中的数，例如x=25，当第三次判断时，x>a[mid]，按以上规律，令front=mid+1，即front=3，出现front>end的情况，表示查找不成功。

例：在有序的有N个元素的数组中查找用户输进去的数据x。

算法如下：

1.确定查找范围front=0，end=N-1，计算中项mid（front+end）/2。

2.若a[mid]=x或front>=end,则结束查找；否则，向下继续。

3.若a[mid]<x,说明待查找的元素值只可能在比中项元素大的范围内，则把mid+1的值赋给front，并重新计算mid，转去执行步骤2；若a[mid]>x，说明待查找的元素值只可能在比中项元素小的范围内，则把mid-1的值赋给end，并重新计算mid，转去执行步骤2。

代码：

#include<iostream>

#define N 10

using namespace std;

int main()

{

int a[N],front,end,mid,x,i;

cout<<"请输入已排好序的a数组元素:"<<endl;

for(i=0;i<N;i++)

cin>>a[i];

cout<<"请输入待查找的数x:"<<endl;

cin>>x;

front=0;

end=N-1;

mid=(front+end)/2;

while(front<end&&a[mid]!=x)

{

if(a[mid]<x)front=mid+1;

if(a[mid]>x)end=mid-1;

mid=front + (end – front)/2;

}

if(a[mid]!=x)

cout<<"没找到！"<<endl;

else

cout<<"找到了！在第"<<mid+1<<"项里。"<<endl;

return 0;

}

MATLAB语言

function y=f(x)

y=f(x); %函数f(t)的表达式

i=0; %二分次数记数

a=a; %求根区间左端

b=b; %求根区间右端

fa=f(a); %计算f(a)的值

fb=f(b); %计算f(b)的值

c=(a+b)/2; %计算区间中点

fc=f(c); %计算区间中点f(c)

while abs(fc)>=ε; %判断f(c)是否为零点

if fa*fc>=0; %判断左侧区间是否有根

fa=fc;

a=c;

else fb=fc;

b=c;

end

c=(a+b)/2;

fc=f(c);

i=i+1;

end

fprintf('//n%s%.6f//t%s%d',c,'迭代次数i=',i) %计算结果输出

快速排序伪代码（非随机）

下面的过程实现快速排序：

QUICKSORT(A，p，r)

1　ifp<r

2　thenq ← PARTITION(A，p，r)

3　QUICKSORT(A，p，q-1)

4　QUICKSORT(A，q+1，r)

为排序一个完整的数组A，最初的调用是QUICKSORT(A，1，length[A])。

快速排序算法的关键是PARTITION过程，它对子数组A[p..r]进行就地重排：

PARTITION(A，p，r)

1　x ← A[r]

2　i ← p-1

3　forj ← ptor-1

4　do ifA[j]≤x

5　theni ← i+1

6　exchange A[i]←→A[j]

7　exchange A[i+1]←→A[r]

8　returni+1

快速排序伪代码（随机）

对PARTITION和QUICKSORT所作的改动比较小。在新的划分过程中，我们在真正进行划分之前实现交换：

（其中PARTITION过程同快速排序伪代码（非随机））

RANDOMIZED-PARTITION(A，p，r)

1　i ← RANDOM(p，r)

2　exchange A[r]←→A[i]

3　return PARTITION(A，p，r)

新的快速排序过程不再调用PARTITION，而是调用RANDOMIZED-PARTITION。

RANDOMIZED-QUICKSORT(A，p，r)

1　ifp<r

2　thenq ← RANDOMIZED-PARTITION(A，p，r)

3　RANDOMIZED-QUICKSORT(A，p，q-1)

4　RANDOMIZED-QUICKSORT(A，q+1，r)

Pascal，递归快排1

procedure work(l,r: longint);

var i,j,tmp: longint;

begin

if l<r then begin

i:=l;j:=r;tmp:=stone[i];

while i<j do

begin

while (i<j)and(tmp<stone[j])do dec(j);

if(i<j) then

begin

stone[i]:=stone[j];

inc(i);

end;

while (i<j)and(tmp>stone[i])do inc(i);

if i<j then

begin

stone[j]:=stone[i];

dec(j);

end;

stone[i]:=tmp;

work(l,i-1);

work(i+1,r);

end;

end;//本段程序中stone是要排序的数组，从小到大排序，stone数组为longint（长整型）类型。在主程序中的调用命令为“work(1,n);”不含引号。表示将stone数组中的1到n号元素进行排序。

Pascal，递归快排2

Program quiksort;

//快速排序法

const max=100;

var n:integer;

a:array[1..max] of longint;

procedure sort(l,r: longint);

var i,j,x,y: longint;

begin

i:=l; j:=r; x:=a[(l+r) div 2];

repeat

while a[i]<x do inc(i);

while x<a[j] do dec(j);

if i<=j then

begin

y:=a[i]; a[i]:=a[j]; a[j]:=y;

inc(i); dec(j);

end;

until i>j;

if l<j then sort(l,j);

if i<r then sort(i,r);

end;

begin

//生成数组;

randomize;

for n:=1 to max do

begin

a[n]:=random(1000);

write(a[n]:5);

end;

writeln;

//排序

sort(1,max);

//输出

for n:=1 to max do write(a[n]:5);writeln;

end.

Delphi 递归快排3

type

TNTA=array of integer;

var

A:TNTA;

procedure QuicSort(var Arr:TNTA;AStart,AEnd:Integer);

var

I,J,Sign:integer;

procedure Switch(A,B:Integer);

var

Tmp:Integer;

begin

Tmp:=Arr[A];

Arr[A]:=Arr[B];

Arr[B]:=Tmp;

end;

begin

if AEnd<=AStart then

Exit;

Sign:=(AStart+AEnd)div 2;

{Switch value}

Switch(Sign,AEnd);

{Start to sort}

J:=AStart;

for I := AStart to AEnd-1 do

begin

if (Arr[I]<Arr[AEnd]){ and (I<>J)} then

begin

Switch(J,I);

Inc(J);

end;

Switch(J,AENd);

QuicSort(Arr,AStart,J);

QuicSort(Arr,J+1,AEnd);

end;

procedure TForm1.btn1Click(Sender: TObject);

const

LEN=10000;

var

I: Integer;

Start:Cardinal;

begin

SetLength(A,LEN);

Randomize;

for I := Low(A) to High(A) do

A[I]:=Random(LEN*10);

Start:=GetTickCount;

QuicSort(A,Low(A),High(A));

ShowMessageFmt('%d large quick sort take time:%d',[LEN,GetTickCount-Start]);

end;

Pascal，非递归快排1

var

s:packed array[0..100,1..7]of longint;

t:boolean;

i,j,k,p,l,m,n,r,x,ii,jj,o:longint;

a:packed array[1..200000]of longint;

function check:boolean;

begin

if i>2 then exit(false);

case i of

1:if (s[k,3]<s[k,2]) then exit(true);

2:if s[k,1]<s[k,4] then exit(true);

end;

exit(false);

end;

procedure qs; //非递归快速排序

begin

k:=1;

t:=true;

s[k,1]:=1;

s[k,2]:=n;

s[k,3]:=1;

while k>0 do

begin

r:=s[k,2];

l:=s[k,1];

ii:=s[k,3];

jj:=s[k,4];

if t then

if (r-l>30) then

begin

x:=a[(r-l+1)shr 1 +l];

ii:=s[k,1];jj:=s[k,2];

repeat

while a[ii]<x do inc(ii);

while a[jj]>x do dec(jj);

if ii<=jj then

begin

m:=a[ii];

a[ii]:=a[jj];

a[jj]:=m;

inc(ii);dec(jj);

end;

until ii>jj;

s[k,3]:=ii;

s[k,4]:=jj;

end

else begin

for ii:=l to r do

begin

m:=a[ii];jj:=ii-1;

while (m<a[jj])and(jj>0) do

begin

a[jj+1]:=a[jj];

dec(jj);

end;

a[jj+1]:=m;

end;

t:=false; dec(k);

end;

if t then

for i:=1 to 3 do

if check then break;

if not t then

begin

i:=s[k,5];

repeat

inc(i);

until (i>2)or check;

end;

if i>2 then begin t:=false; dec(k);end

else t:=true;

if t then

begin

s[k,5]:=i;

inc(k);

case i of

1:begin s[k,1]:=s[k-1,3];s[k,2]:=s[k-1,2];end;

2:begin s[k,1]:=s[k-1,1];s[k,2]:=s[k-1,4];end;

end;

begin

readln(n);

for i:=1 to n do read(a[i]);

k:=1;

qs;

for i:=1 to n do //输出

write(a[i],' ');

writeln;

end.

经测试，非递归快排比递归快排快。

Pascal，非递归快排2

//此段快排使用l队列储存待处理范围

var

a:Array[1..100000] of longint;

l:Array[1..100000,1..2] of longint;

n,i:longint;

procedure fs;//非递归快排

var

s,e,k,j,ms,m:longint;

begin

s:=1;e:=1;l[1,1]:=1;l[1,2]:=n;

while s<=e do

begin

k:=l[s,1];j:=l[s,2];m:=random(j-k+1)+k;

ms:=a[m];a[m]:=a[k];

while k<j do

begin

while (k<j)and(a[j]>ms) do dec(j);

if k<j then begin a[k]:=a[j];inc(k);end;

while (k<j)and(a[k]<ms) do inc(k);

if k<j then begin a[j]:=a[k];dec(j);end;

end;

a[k]:=ms;

if l[s,1]<k-1 then begin inc(e);l[e,1]:=l[s,1];l[e,2]:=k-1;end;

if j+1<l[s,2] then begin inc(e);l[e,1]:=j+1;l[e,2]:=l[s,2];end;

inc(s);

end;

begin

randomize;

read(n);

for i:=1 to n do read(a[i]);

fs;

for i:=1 to n do write(a[i],' ');

end.

实战

Problem：大整数开方 NOIP2011普及组初赛完善程序第二题

题目描述

输入一个正整数n(1<n<10^100)，试用二分法计算它的平方根的整数部分。

代码

Const

SIZE = 200;

Type

hugeint = Record

len : Integer;

num : Array[1..SIZE] Of Integer;

End;

//len表示大整数的位数;num[1]表示个位、num[2]表示十位,以此类推

Var

s : String;

i : Integer;

target, left, middle, right : hugeint;

Function times(a, b : hugeint) : hugeint;

// 计算大整数 a 和 b 的乘积

Var

i, j : Integer;

ans : hugeint;

Begin

FillChar(ans, SizeOf(ans), 0);

For i := 1 To a.len Do

For j := 1 To b.len Do

ans.num[i + j – 1] := ans.num[i + j – 1] + a.num[i] * b.num[j];

For i := 1 To a.len + b.len Do

Begin

ans.num[i + 1] := ans.num[i + 1] + ans.num[i] DIV 10;

ans.num[i] := ans.num[i] mod 10;

If ans.num[a.len + b.len] > 0

Then ans.len := a.len + b.len

Else ans.len := a.len + b.len – 1;

End;

times := ans;

End;

Function add(a, b : hugeint) : hugeint;

// 计算大整数 a 和 b 的和

Var

i : Integer;

ans : hugeint;

Begin

FillChar(ans.num, SizeOf(ans.num), 0);

If a.len > b.len

Then ans.len := a.len

Else ans.len := b.len;

For i := 1 To ans.len Do

Begin

ans.num[i] :=ans.num[i] + a.num[i] + b.num[i];

ans.num[i + 1] := ans.num[i + 1] + ans.num[i] DIV 10;

ans.num[i] := ans.num[i] MOD 10;

End;

If ans.num[ans.len + 1] > 0

Then Inc(ans.len);

add := ans;

End;

Function average(a, b : hugeint) : hugeint;

// 计算大整数 a 和 b 的平均数的整数部分

Var

i : Integer;

ans : hugeint;

Begin

ans := add(a, b);

For i := ans.len DownTo 2 Do

Begin

ans.num[i – 1] := ans.num[i – 1] + (ans.num[i] mod 2) * 10;

ans.num[i] := ans.num[i] DIV 2;

End;

ans.num[1] := ans.num[1] DIV 2;

If ans.num[ans.len] = 0

Then Dec(ans.len);

average := ans;

End;

Function plustwo(a : hugeint) : hugeint;

// 计算大整数 a 加 2 后的结果

Var

i : Integer;

ans : hugeint;

Begin

ans := a;

ans.num[1] := ans.num[1] + 2;

i := 1;

While (i <= ans.len) AND (ans.num[i] >= 10) Do

Begin

ans.num[i + 1] := ans.num[i + 1] + ans.num[i] DIV 10;

ans.num[i] := ans.num[i] MOD 10;

Inc(i);

End;

If ans.num[ans.len + 1] > 0

Then inc(ans.len);

plustwo := ans;

End;

Function over(a, b : hugeint) : Boolean;

// 若大整数 a > b 则返回 1, 否则返回 0

Var

i : Integer;

Begin

If (a.len<b.len) Then

Begin

over := FALSE;

Exit;

End;

If a.len > b.len Then

Begin

over := TRUE;

Exit;

End;

For i := a.len DownTo 1 Do

Begin

If a.num[i] < b.num[i] Then

Begin

over := FALSE;

Exit;

End;

If a.num[i] > b.num[i] Then

Begin

over := TRUE;

Exit;

End;

over := FALSE;

End;

Begin

Readln(s);

FillChar(target.num, SizeOf(target.num), 0);

target.len := Length(s);

For i := 1 To target.len Do

target.num[i] := Ord(s[target.len – i + 1]) – ord('0');

FillChar(left.num, SizeOf(left.num), 0);

left.len := 1;

left.num[1] := 1;

right := target;

Repeat

middle := average(left, right);

If over(times(middle, middle), target)

Then right := middle

Else left := middle;

Until over(plustwo(left), right);

For i := left.len DownTo 1 Do

Write(left.num[i]);

Writeln;

End.

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二分法(数学领域术语)

定义

典型算法

求法

计算机应用

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