在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,有S△AOB∶S△AOC=BD∶CDS△AOB∶S△COB=AE∶CES△BOC∶S△AOC=BF∶AF因此图类似燕尾而得名。是五大模型之一,是一个关于平面三角形的定理,俗称燕尾定理。
证明
证法1
下面的是第一种方法:利用分比性质(若a÷b=c÷d,则(a-b)÷b=(c-d)÷d,b≠0,d≠0,)。
注:∵(a-b)÷b=a÷b-b÷b=a÷b-1,(c-d)÷d=c÷d-d÷d=c÷d-1,a/b=c/d。
∴(a-b)÷b=(c-d)÷d。
∵△ABD与△ACD同高。
∴S△ABD:S△ACD=BD:CD。
同理,S△OBD:S△OCD=BD:CD。
利用分比性质,得。
S△ABD-S△OBD:S△ACD-S△OCD=BD:CD。
即S△AOB:S△AOC=BD:CD。
命题得证。(由此可得:若X:Y=a:b,X1:Y1=a:b;则(X±X1):(Y±Y1)=a:b.其中Y、Y1≠0,Y≠Y1且Y-≠Y1)。
证法2
下面的是第二种方法:相似三角形法。
已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E。
求证:AE=CE证明:
过点O作MN∥BC,,交AB于点M,AC于点N;
过点O作PQ∥AB,交BC于点P,交AC于点Q。
∵MN∥BC。
∴△AMO∽△ABD,△ANO∽△ACD。
∴MO:BD=AO:AD,NO:CD=AO:AD。
∴MO:BD=NO:CD。
∵AD是△ABC的一条中线。
∴BD=CD。
∴MO=NO。
∵PQ∥AB。
∴△CPO∽△CBF,△CQO∽△CAF。
∴PO:BF=CO:CF,QO:AF=CO:CF。
∴PO:BF=QO:AF。
∵CF是△ABC的一条中线。
∴AF=BF。
∴PO=QO。
∵MO=NO,∠MOP=∠NOQ,PO=QO。
∴△MOP≌△NOQ(SAS)。
∴∠MPO=∠NQO。
∴MP∥AC(内错角相等,两条直线平行)。
∴△BMR∽△BAE(R为MP与BO的交点),△BPR∽△BCE。
∴MR:AE=BR:BE,PR:CE=BR:BE。
∴MR:AE=PR:CE。
∵MN∥BC,PQ∥AB。
∴四边形BMOP是平行四边形。
∴MR=PR(平行四边形的对角线互相平分)。
∴AE=CE。
命题得证。
推广
四边形ABCD(不一定是凸四边形),设AC,BD相交于E则有BE:DE=S△ABC:S△ADC。
证明:∵S△ABC=S△ABE+S△BEC。
S△ADC=S△AED+S△CED。
又∵S△ABE:S△AED=S△BEC:S△CED=BE:ED(∵高相等)。
∴S△ABE+S△BEC:S△AED+S△CED=S△ABC:S△ADC=BE:ED。
此定理是面积法最重要的定理之一。
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