和差化积公式:包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式,是三角函数中的一组恒等式,和差化积公式共10组。在应用和差化积时,必须是一次同名(正切和余切除外)三角函数方可实行。若是异名,必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,必须用降幂公式降为一次。
和差化积公式
公式
即三角函数中的一组恒等式:
推导过程
对于(1)至(4),可以用积化和差公式推导,也可以由和角公式得到,以下用和角公式证明之。
由和角公式有:
,
。
两式相加、减便可得到上面的公式(1)、(2),同理可证明公式(3)、(4)。
对于(5)、(6),有:
对于(7)、(8)、(9)、(10),也可用类似的方法推出。
证毕。
平方形式的和差化积公式
下面不加推导地给出几个公式。对于正余弦平方的减法,同样有和差化积公式:
记忆方法
只记两个公式甚至一个
可以只记上面四个公式的第一个和第三个。
第二个公式中的 ,即 ,这就可以用第一个公式。
同理,第四个公式中, ,这就可以用第三个公式解决。
如果对诱导公式足够熟悉,可以在运算时把余弦全部转化为正弦,那样就只记住第一个公式就行了。
用的时候想得起一两个就行了。
结果乘以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。正弦和余弦的值域都是[-1,1],其积的值域也应该是[-1,1],而和差的值域却是[-2,2] ,因此乘以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2,如:
故最后需要乘以2。
只有同名三角函数能和差化积
无论是正弦函数还是余弦函数,都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆,因为如果不是同名三角函数,两角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相同的项,也就无法化简下去了。
乘积项中的角要除以2
在和差化积公式的证明中,必须先把α和β表示成两角和差的形式,才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α 和β,这两个角应该是 和 ,也就是乘积项中角的形式。
注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”,但位置不同;而只有和差化积公式中有“乘以2”。
使用哪两种三角函数的积
这一点较好的记忆方法是拆分成两点,一是是否同名乘积,二是“半差角”(α-β)/的三角函数名。
是否同名乘积,仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以,余弦的和差化作同名三角函数的乘积;正弦的和差化作异名三角函数的乘积。
的三角函数名规律为:和化为积时,以 的形式出现;反之,以 的形式出现。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积,那么α和β调换位置对结果没有影响,也就是若把 替换为 ,结果应当是一样的,从而 的形式是 ;另一种情况可以类似说明。
余弦·余弦差公式中的顺序相反与负号
这是一个特殊情况,完全可以死记下来。
当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定,如 内余弦函数的单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的,所以当α >β 时, 小于 。但是这时对应的 和 在(0,π)的范围内,其正弦的乘积应大于0,所以要么反过来把 放到 前面,要么就在式子的最前面加上负号。
记忆口诀
(一)
正加正,正在前,
余加余,余并肩。
正减正,余在前,
余减余,负正弦。
(反之亦然)
(二)
帅+帅=帅哥,
帅-帅=哥帅,
哥+哥=哥哥,
哥-哥=负嫂嫂。
(反之亦然)
(三)
口口之和仍口口,
赛赛之和赛口留,
口口之差负赛赛,
赛赛之差口赛收。
(四)
正和正在先,
正差正后迁,
余和一色余,
余差翻了天。
(五)
正弦加正弦,正弦在前面,
正弦减正弦,余弦在前面,
余弦加余弦,余弦全部见,
余弦减余弦,负正弦来见。
(前提是角度 在前, 在后的标准形式)
(六)
和差化积:
同名和差三角积,( 或 :等式左边只有同是正弦或同是余弦才可以相加减。)
左是 和 ,( :等式左边是先 后 )
右是两角和与差。( 和 :等式右边是 和 )
双正S SC,( :“正”表示两个正弦中间的“+”,
即 )
双负SCS,( :“负”表示两个正弦中间的“-”,
即 )
双正C对正双C,( :“正”表示两余弦中间的“+”,
即 )
双负C对负S。( :“负”表示两余弦中间的“-”,
即 )
(七)
和差化积二倍半,和前函数名不变;余弦稳正弦跳,余弦相减取负号。
例题
已知,且,求的值
解:将已知条件编号
①
②
①的平方+②的平方,得:
所以:
则:
计算可得:
①×②,得
所以
则
则
运用和差化积公式:
上式可变为:
所以
将代入,
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