“回文”是指正读反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等。在数学中也有这样一类数字有这样的特征，成为回文数（palindrome number）。

设n是一任意自然数。若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等，则称n为一回文数。例如，若n=1234321，则称n为一回文数；但若n=1234567，则n不是回文数。

注意：

1.偶数个的数字也有回文数124421

2.小数没有回文数

基本情况

1千以内的回文数

在自然数中，最小的回文数是0，其次是1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,55,66,77,88,99,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,202,212,222,232,242,252,262,272,282,292,303,313,323,333,343,353,363,373,383,393,404,414,424,434,444,454,464,474,484,494,505,515,525,535,545,555,565,575,585,595,606,616,626,636,646,656,666,676,686,696,707,717,727,737,747,757,767,777,787,797,808,818,828,838,848,858,868,878,888,898,909,919,929,939,949,959,969,979,989,999.

平方回数

定义：一个回文数，它同时还是某一个数的平方，这样的数字叫做平方回数。例如：121。

100以上至1000以内的平方回数只有3个，分别是：121、484、676。

其中，121是11的平方。

484是22的平方，同时还是121的4倍。

676是26的平方，同时还是169的4倍。

举例说明

任意某一个数通过以下方式相加也可得到

如：29+92=121 还有 194+491=685，586+685=1271，1271+1721=2992

不过很多数还没有发现此类特征（比如196,下面会讲到）

另外个别平方数是回文数

1的平方=1

11的平方=121

111的平方=12321

1111的平方=1234321

……

……

依次类推

3×51=153

6×21=126

4307×62=267034

9×7×533=33579

上面这些算式,等号左边是两个(或三个)因数相乘,右边是它们的乘积。如果把每个算式中的“×”和“=”去掉，那么，它们都变成回文数，所以，我们不妨把这些算式叫做“回文算式”。还有一些回文算式，等号两边各有两个因数。请看：

12×42=24×21

34×86=68×43

102×402=204×201

1012×4202=2024×2101

不知你是否注意到，如果分别把上面的回文算式等号两边的因数交换位置，得到的仍是一个回文算式，比如：分别把“12×42=24×21”等号两边的因数交换位置，得到算式是：

42×12=21×24

这仍是一个回文算式。

还有更奇妙的回文算式，请看：

12×231=132×21（积是2772）

12×4032=2304×21（积是48384）

这种回文算式，连乘积都是回文数。

四位的回文数有一个特点，就是它决不会是一个质数。设它为abba，那它等于a*1000+b*100+b*10+a，1001a+110b。能被11整除。

六位的也一样，也能被11整除

还有，人们借助电子计算机发现，在完全平方数、完全立方数中的回文数，其比例要比一般自然数中回文数所占的比例大得多。例如11^2=121，22^2=484，7^3=343,11^3=1331，11^4=14641……都是回文数。

研究现状

人们迄今未能找到自然数(除0和1)的五次方，以及更高次幂的回文数。于是数学家们猜想：不存在n^k(n≥2,k≥5;n、k均是自然数)形式的回文数。

在电子计算器的实践中，还发现了一桩趣事：任何一个自然数与它的倒序数相加，所得的和再与和的倒序数相加，……如此反复进行下去，经过有限次步骤后，最后必定能得到一个回文数。

这也仅仅是个猜想，因为有些数并不“驯服”。比如说196这个数，按照上述变换规则重复了数十万次，仍未得到回文数。但是人们既不能肯定运算下去永远得不到回文数，也不知道需要再运算多少步才能最终得到回文数。

回文数算法

随意找一个十进制的数，把它倒过来成另一个数，再把这两个数相加，得一个和数，这是第一步;然后把这个和数倒过来，与原来的和数相加，又得到一个新的和数，这是第二步。照此方法，一步步接续往下算，直到出现一个“回文数”为n。例如:28+82=110,110+011=121，两步就得出了一个“回文数”。如果接着算下去，还会得到更多的“回文数”。这个过程称为“196算法”。

对回文数的探索过程

上而提到的196这个数，是第一个可能的“利克瑞尔数”，因而它受到了最多的关注。由于还不可能证明一个数永远不能形成“回文数”，所以“196和其他那些(看起来)不能形成回文数的数是利克瑞尔数”这一命题仅是猜想而非已获证明。能证明的仅是那些反例，即如果一个数最终能形成“回文数”，则它不是“利克瑞尔数”。

在电子计算机尚未问世的1938年，美国数学家莱默(D. Lehmer,1905-1991)计算到了第73步，得到了一个没有形成“回文数”的35位的和数。至今挑战此题的数学爱好者从没有间断过，并随着计算机科技的发展，不断有发烧友编写不同的程序对此题发起挑战。据笔者最新调查，领军人W.V.Landingham到2006年2月已经计算到了699万步，得到了一个2.89亿位以上的和数，之间的结果仍未出现“回文数”。

另外介绍一个关于达到“回文数”需要计算步数的世界记录。它是一个19位数字1,186,060,307,891,929,990,算出“回文数，，需要了261步。它是由Jason Doucette的算法及程序于2005年11月30日发现的。下表列举的是各位数字中，到达“回文数”花费步数最多的代表性数字。

编程实现

JAVA源程序

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

publicclassPlalindrome{ publicstaticvoidmain(String[]args){ System.out.println("11is"+(isPlalindrome(11)?"":"not")+"Plalindromenumber"); System.out.println("123is"+(isPlalindrome(123)?"":"not")+"Plalindromenumber"); System.out.println("17251is"+(isPlalindrome(17251)?"":"not")+"Plalindromenumber"); System.out.println("2882is"+(isPlalindrome(2882)?"":"not")+"Plalindromenumber"); } publicstaticbooleanisPlalindrome(intnumber){ //此方法实现判断数字是不是回文数 Stringnum=String.valueOf(number); returnnewStringBuffer(num).reverse().toString().equalsIgnoreCase(num); } }

—————

11 is Plalindrome number

123 is not Plalindrome number

17251 is not Plalindrome number

2882 is Plalindrome number

用visual basic6.0

for i = 100 to 99999 '这里从100开始 后面可以随便填，我这里填99999 表示所有3位数到五位数之间的回文数

if StrReverse(i)=i then print i '用StrReverse函数 判断倒序后的数和原来数是否相同，如果相同者表示此数为回文数

next

用C语言编程

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#include<stdio.h> intx,y; separate(int*data,intn) {     inti,j;     y=0;     while(n!=0)     {            *(data+y)=n%10;n=n/10;y++;     }     *(data+y)='//0';     for(i=0,j=y-1;i<=j;i++,j–)     {         if(*(data+i)!=*(data+j)){         printf("%d不是回文!!!//n",x);break;         }     }     if(i ==y-1) printf("是回文数"); } voidmain() { inta[99]; printf("请输入一个正整数："); scanf("%d",&x); separate(a,x); }

另外一种实现方法（c++）更简便

#include<iostream>

using namespace std;

bool symm(long m)

{

long temp = m,n=0;

while (temp)

{

n = n*10+temp%10;

temp = temp/10;

}

return (m == n);

}

int main(int argc, _TCHAR* argv[])

{

long m;

cout<<"请输入一个整数：";

cin>>m;

cout<<"输入了"<<symm(m)<<"个回文数！";

return 0;

}

python源程序

1 2	#coding:–utf-8–　#-*-coding:cp936-*- classHws:　def__init__(self):　self.result=[]　defhWs(self):　forainrange(1,10000):　b=str(a)　foriinrange(0,len(b)/2+1):　ifb[i]==b[len(b)-i-1]:　self.result.append(a)　printself.result　hws=Hws()　hws.hWs()

求最长回文数长度的manacher算法（O(n)）

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#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<string> #include<queue> #include<algorithm> #include<map> #include<iomanip> #defineINF99999999 usingnamespacestd;   constintMAX=110000+10; chars[MAX*2]; intp[MAX*2];   intmain(){     while(scanf("%s",s)!=EOF){         intlen=strlen(s),id=0,maxlen=0;         for(inti=len;i>=0;–i){//插入'#'             s[i+i+2]=s[i];             s[i+i+1]='#';         }//插入了len+1个'#',最终的s长度是1~len+len+1即2*len+1,首尾s[0]和s[2*len+2]要插入不同的字符         s[0]='*';//s[0]='*',s[len+len+2]='//0',防止在while时p[i]越界         for(inti=2;i<2*len+1;++i){             if(p[id]+id>i)p[i]=min(p[2*id-i],p[id]+id-i);             elsep[i]=1;             while(s[i-p[i]]==s[i+p[i]])++p[i];             if(id+p[id]<i+p[i])id=i;             if(maxlen<p[i])maxlen=p[i];         }         cout<<maxlen-1<<endl;     }     return0; }