微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间—-流形。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响。爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
基本内容
大学本科的微分几何内容包括两部分：局部理论和整体理论。
微分几何的局部理论研究三维欧氏空间中的曲线和曲面在一点附近的性质，其中的一个主要问题是寻求几何不变量并确定这些不变量能在什么程度刻划曲线和曲面。这就是所谓曲线论和曲面论基本定理的内容。
局部微分几何的一个里程碑是Gauss关于曲面的理论，他建立了基于曲面第一基本形式的几何，并把欧几里得几何推广到曲面上“弯曲”的几何。由此开创了曲面的内蕴几何学的研究，使微分几何成为一门真正独立的学科。1915年，爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。
二十世纪三四十年代发展起来的整体微分几何，其中的一个重要部分是讨论流形的曲率是如何影响流形的拓扑乃至度量性质。这方面最早的结果是Gauss-Bonnet定理，它表明曲面的Euler示性数能用Gauss曲率的积分表示。而微分几何中的刚性问题讨论曲率等如何确定流形的度量性质。
微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。
在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。
在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。
近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系，这些数学部门和微分几何互相渗透，已成为现代数学的中心问题之一。微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分几何学的理论。
历史
起源/n
微分几何的产生和发展是和微积分密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉（L.Euler）。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。十九世纪初，法国数学家蒙日（G. Monge）首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了他的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。/n
发展
1827年，德国数学家高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了曲面论的基础。高斯抓住了微分几何中最重要的概念和根本性的内容，建立了曲面的内蕴几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲线的长度、两条曲线的夹角、曲面上的某一区域的面积、测地线、测地曲率和总曲率等等。
1854年德国数学家黎曼（B. Riemann）在他的教授职称论文（Habilitationsschrift）中将高斯的理论推广到n维空间，这就是黎曼几何的诞生。其后许多数学家，包括E. Beltrami， E. B. Christoffel，R. Lipschitz，L. Bianchi，T. Ricci开始沿着黎曼的思路进行研究。其中Bianchi是第一个将“微分几何”作为书名的作者。
1870年德国数学家克莱因（Felix Klein）在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了他的《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。在仿射微分几何方面，布拉施克（W. Blaschke）也做出了决定性的工作。
相关人物
“微分几何之父”陈省身
陈省身1930年毕业于南开大学，1934年毕业于清华大学研究院，其后赴德国汉堡大学深造。他曾任教于西南联合大学、美国普林斯顿大学、芝加哥大学和加州大学伯克利分校，是原中央研究院数学所、美国国家数学研究所、南开数学研究所的创始所长。陈省身开创并领导着整体微分几何、纤维丛微分几何、“陈省身示性类”等领域的研究，他是有史以来唯一获得世界数学界最高荣誉“沃尔夫奖”的华人，被称为“当今最伟大的数学家”，被国际数学界尊为“微分几何之父”。国际数学大师、中科院外籍院士陈省身在天津病逝，享年93岁。
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